Question

已知A，B，C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量 滿足：，記y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）的解析式：
（2）若關于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍；
（3）若對任意，不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量 滿足：，A，B，C在同一條直線上，知（）+[ln（2+3x）-y]=1，由此能求出函數y=f（x）的解析式．
（2）由f（x）=2x+b，知b=f（x）-2x=ln（2+3x）+-2x，令，利用導數知識能求出b的取值范圍．
（3）由已知的不等式解出a的取值范圍并得到a的取值使不等式成立即可．
解答：解：（1）∵向量 滿足：，
∴，
又∵A，B，C在同一條直線上，
∴（）+[ln（2+3x）-y]=1，
∴y=ln（2+3x）+．
故f（x）=ln（2+3x）+．…（3分）
（2）∵f（x）=2x+b，f（x）=ln（2+3x）+．
∴b=f（x）-2x=ln（2+3x）+-2x，
令，
則=，
∴當x∈（0，）時，φ'（x）＜0；當時，φ'（x）＞0．
∵φ（0）=ln2，，，
ln5--ln2=ln-=ln＞0，
∴b∈（ln3-，ln2）．
∴b的取值范圍是．…（8分）
（3）由|a-lnx|-ln[f′（x）+3x]＞0，
得a＞lnx+ln3-ln（2+3x）或a＜lnx-ln3+ln（2+3x），
設h（x）=lnx+ln3-ln（2+3x），g（x）=lnx-ln3+ln（2+3x）
依題意知a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[，]上恒成立，
∵h′（x）=＞0，g′（x）=＞0，
∴g（x）與h（x）都在[，]上單增，要使不等式成立，
當且僅當a＞h（）或a＜g（），即a＞ln或a＜ln．…（14分）
點評：本題考查學生利用向量、導數研究函數極值的能力，綜合運用方程與函數的能力，以及求導數的能力．解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．