Question

命題“ax²-2ax-3≤0恒成立”是真命題，則實數a的取值范圍是

-3≤a≤0

．

Answer 1

分析：命題中的不等式含有字母參數，首先考慮a=0，發現此時顯然命題是真命題．再看當a≠0時，若要原命題為真命題，必須相應的二次函數圖象開口向下且與x軸不相交，由此可列出關于a的不等式組，解之即得a的取值范圍．最后綜上所述，得到正確答案．

解答：解：∵命題“ax²-2ax-3≤0恒成立”是真命題，
∴對于任意的x∈R，不等式ax²-2ax-3≤0恒成立，
①當a=0時，不等式為-3≤0，顯然恒成立，符合題意；
②當a≠0時，二次函數y=ax²-2ax-3≤0在R上恒成立，
∴

a＜0 △=(-2a)2-4a×(-3)≤0

，即

a＜0 -3≤a≤0

，
解得-3≤a＜0，
∴實數a的取值范圍是-3≤a＜0．
綜合①②，實數a的取值范圍是-3≤a≤0．
故答案為：-3≤a≤0．

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了含有字母參數的不等式恒成立的知識點，對于不等式恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法求解．對于二次函數要注意數形結合的應用，注意抓住二次函數的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．