Question

【題目】已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|+|x﹣1|＜4 或 或 ，
解得：﹣2＜x≤﹣1或﹣1＜x≤1或1＜x＜2，
故不等式的解集為（﹣2，2）；
（Ⅱ）∵f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，
∴f（x）min=2，當且僅當（x+1）（x﹣1）≤0時取等號，
而不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解|a﹣1|＞f（x）min=2，
又|a﹣1|＞2a﹣1＜﹣2或a﹣1＞2
故a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解析】（Ⅰ）通過討論x的范圍得到關于x的不等式組，解出即可；（Ⅱ）根據絕對值的性質求出f（x）的最小值，問題轉化為|a﹣1|＞f（x）min ， 求出a的范圍即可．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．