Question

已知橢圓E：的右焦點F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點，且，|AB|最小值為2．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若圓：的切線l與橢圓E相交于P，Q兩點，當P，Q兩點橫坐標不相等時，問：OP與OQ是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設A（x，y）B（-x，y）F（c，0）（c²=a²+b），由橢圓定義及可求a，而
可求b，進而可求橢圓方程
（Ⅱ）由題設條件可知直線的斜率存在，設直線L的方程為y=kx+m，由L與圓相切，可得
L的方程為y=kx+m代入中得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，△=8（2k²+1-m²）＞0令P（x₁，y₁），
Q（x₂，y₂），，要證，只要證明即可
解答：解：（Ⅰ）設A（x，y）B（-x，y）F（c，0）（c²=a²+b）
則-----------------------------------------（1分）
∵0≤x²≤a²∴|AB|_min=2b=2∴b=1所以有橢圓E的方程為-----------------（5分）
（Ⅱ）由題設條件可知直線的斜率存在，設直線L的方程為y=kx+m
L與圓相切，
∴
∴-----------------（7分）
L的方程為y=kx+m代入中得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=8（2k²+1-m²）＞0令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
①
②
③--------------------（10分）
∴------------------------------------------------------（12分）
點評：本題主要考查了由橢圓的性質、定義求解橢圓的方程，直線與圓、橢圓的位置關系的應用，解題中要求考試具備一定的邏輯推理、計算的能力．