Question

已知x＞-1，n≥2且n∈N^*，比較（1+x）ⁿ與1+nx的大小．

Answer 1

【答案】分析：先構(gòu)造函數(shù)f（x）=（1+x）ⁿ-（1+nx），研究函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，使最小值與零比較即可．
解答：解：設(shè)f（x）=（1+x）ⁿ-（1+nx），
則f'（x）=n（1+x）^n-1-n=n[（1+x）^n-1-1]．
由f'（x）=0得x=0．
當(dāng)x∈（-1，0）時，f'（x）＜0，
f（x）在（-1，0）上遞減．
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上遞增．
∴x=0時，f（x）最小，最小值為0，即f（x）≥0．
∴（1+x）ⁿ≥1+nx．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，最值問題是常考的知識點，屬于基礎(chǔ)題．