Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右焦點F₂（1，0），離心率為

1

2

，已知點M坐標是（0，3），點P是橢圓C上的動點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求|PM|+|PF₂|的最大值及此時的P點坐標．

Answer 1

分析：（1）由題可得c=1，e=

c

a

=

1

2

，解得a=2，則b=

a2-c2

=

3

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）由點M是圓C：x²+（y-3）²=1上的動點，知|PM|≤|PC|+1．設橢圓的左焦點為F₁（-1，0），依據(jù)橢圓的定義知，|PF|=4-|PF₁|，故|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，由此能求出|PM|+|PF₂|的最大值及此時的P點坐標．

解答：解：（1）由題可得c=1，e=

c

a

=

1

2

，解得a=2，
則b=

a2-c2

=

3

，
橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；（2分）
（2）∵點M是圓C：x²+（y-3）²=1上的動點，
∴|PM|≤|PC|+1，（3分）
設橢圓的左焦點為F₁（-1，0），
依據(jù)橢圓的定義知，|PF|=4-|PF₁|，（5分）
∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，
當點P是CF₁延長線與橢圓的交點時，
|PC|-|PF₁|取得最大值|CF1|=

10

，
∴|PM|+|PF|的最大值為

10

+5，（7分）
此時直線CF₁的方程是y=3x+3，
點P的坐標是方程組

y=3x+3 x2 4 + y2 3 =1

的解，
消去y得，13x²+24x+8=0，（9分）
解得x=

-12±2 10

13

，
根據(jù)圖形可知xp=

-12-2 10

13

，yp=

3-6 10

13

，（10分）
此時的P點坐標為（

-12-2 10

13

，

3-6 10

13

）．（12分）

點評：本題考查求橢圓的方程；求線段和的最大值及此時的對應點坐標．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．