Question

已知函數(shù)f（x）=

10x-10-x

10x+10-x

，判斷f（x）的奇偶性和單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）用奇偶性定義判斷，先看定義域，再探討（x）與f（-x）的關(guān)系．
（2）用單調(diào)性定義判斷，思路是，在區(qū)間上任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形看符號(hào)．

解答：解：（1）已知函數(shù)f（x）=

10x-10-x

10x+10-x

=

102x-1

102x+1

，x∈R，
f（x）=

10-x-10x

10-x+10x

=-

102x-1

102x+1

=-f(x)，x∈R
∴f（x）是奇函數(shù)
（2）f(x)=

102x-1

102x+1

，x∈R，設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1) -f(x2) =

102x1-1

102x1+1

-

102x2-1

102x2+1

=

2(102x1-102x2)

(102x1+1)(102x2+1)

=

2(100x1-100x2)

(102x1+1)(102x2+1)

，
因?yàn)閤₁＜x₂，所以100x1＜100x2，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用定義來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，在判斷奇偶性時(shí)要先看定義域，再看f（x）與f（-x）關(guān)系，在判斷單調(diào)性時(shí)要注意變量的任意性．