Question

在一橢圓中以焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為直徑兩端點(diǎn)的圓，恰好過(guò)短軸的兩頂點(diǎn)，則此橢圓的離心率e等于

2

2

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根據(jù)題意得b=c，由此解出a=

2

c，即可算出此橢圓的離心率．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
可得焦點(diǎn)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=

a2-b2

．
∵以F₁F₂為直徑的圓恰好過(guò)短軸的兩頂點(diǎn)，
∴短軸端點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于焦距的一半，即b=c，
可得

a2-c2

=c，化簡(jiǎn)得a=

2

c，
因此，該橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

．
故答案為：

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．