Question

如圖，已知四邊形ABCD和ABEF均為矩形，BC=BE=1，AB=2，點M為線段EF的中點，BM⊥AD．
（Ⅰ）求證：BM⊥DM；
（Ⅱ）求點F到平面DAM的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定證明BM⊥平面ADM即可；
（Ⅱ）證明AD⊥平面ABM，可得AD⊥AM，利用等體積，即可求點F到平面DAM的距離．

解答：（Ⅰ）證明：在矩形ABEF中，BE=1，AB=2，點M為線段EF的中點，∴BM⊥AM，
∵BM⊥AD，BM⊥AM，AM∩AD=A，
∴BM⊥平面ADM，
∵DM?平面ADM，
∴BM⊥DM；
（Ⅱ）解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥AD，
∵AB⊥AD，BM⊥AD，AB∩BM=B，
∴AD⊥平面ABM，
∴AD⊥AM，
設點F到平面DAM的距離為h，則

1

3

•

1

2

•1•1•1=

1

3

•

1

2

•

2

•1•h，
∴h=

2

2

．

點評：本題考查線面垂直的判定，考查點到平面的距離，考查三棱錐體積公式的運用，屬于中檔題．