Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）判定AE與PD是否垂直，并說明理由．
（2）設AB=2，若H為PD上的動點，若△AHE面積的最小值為 ， 求四棱錐P﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】解：（1）AE⊥PD
因為四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
因為E是BC的中點，
∴AE⊥BC，結合BC∥AD，得AE⊥AD
∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，
∴PA⊥AE
PA∩AD=A，且PA平面PAD，AD平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD平面PAD
∴AE⊥PD
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH為直角三角形，
Rt△EAH中，AE=，
當AH最短時，即AH⊥PD時，△AHE面積的最小
此時， ．
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．


【解析】（1）四邊形ABCD是一條對角線AC等于邊長的菱形，從而△ABC為正三角形，BC邊上的中線AE也是高線，聯系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD內的射影，從而得到AE與PD垂直．
（2）先根據AE與PD、PA都垂直，可得到AE⊥平面PAD，從而AE⊥平面AHE，然后求出AE= ， 得到直角三角形AEH的面積為AEAH=AH，AH最短時△AHE面積最小．結合已知條件得到AH= ， 最后轉到Rt△PAD中求得PA=2，利用棱錐的體積公式得出四棱錐P﹣ABCD的體積．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的性質是解答本題的根本，需要知道垂直于同一個平面的兩條直線平行．