Question

已知過原點O作函數f（x）=e^x（x²-x+a）的切線恰好有三條，切點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍．
（Ⅱ）求證：x₁＜-3．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（x²+x+a-1），
設切點為（x₀，y₀），則切線方程為：y-e^x₀（x₀²-x₀+a）=e^x₀（x₀²+x₀+a-1）（x-x₀），
代入（0，0）得x₀³+ax₀-a=0，
由題意知滿足條件的切線恰有三條，
則方程x³+ax-a=0有三個不同的解．
令g（x）=x³+ax-a，g′（x）=3x²+a．
當a≥0時，g′（x）≥0，g（x）是（-∞，+∞）上增函數，則方程x³+ax-a=0有唯一解．
當a＜0時，由g′（x）=0得x=±，g（x）在和上是增函數，
在上是減函數
要使方程x³+ax-a=0有三個不同的根，
只需
解得a＜-．
（Ⅱ）∵g（x）=x³+ax-a，，
由函數連續性知-∞＜x₁＜-，
∵a＜-，∴g（-3）=-27-4a＞0，
且-3＜-，∴x₁＜-3．
分析：（Ⅰ）設切點為（x₀，y₀），根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=x₀處的導數，從而求出切線的斜率，即可表示出切線方程，然后減（0，0）代入得x₀³+ax₀-a=0，根據切線恰有三條，轉化成方程x³+ax-a=0有三個不同的解，最后利用導數研究即可；
（Ⅱ）根據g（x）=x³+ax-a，，根據函數連續性知，根據a的范圍可知g（-3）=-27-4a＞0，即可求出x₁的范圍．
點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．