Question

已知過原點O作函數f（x）=e^x（x²-x+a）的切線恰好有三條，切點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍．
（Ⅱ）求證：x₁＜-3．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=e^x（x²+x+a-1），
設切點為（x₀，y₀），則切線方程為：y-e^x₀（x₀²-x₀+a）=e^x₀（x₀²+x₀+a-1）（x-x₀），
代入（0，0）得x₀³+ax₀-a=0，
由題意知滿足條件的切線恰有三條，
則方程x³+ax-a=0有三個不同的解．（2分）
令g（x）=x³+ax-a，g′（x）=3x²+a．
當a≥0時，g′（x）≥0，g（x）是（-∞，+∞）上增函數，則方程x³+ax-a=0有唯一解．（3分）
當a＜0時，由g′（x）=0得x=±

- a 3

，g（x）在(-∞，-

- a 3

)和(

- a 3

，+∞)上是增函數，
在(-

- a 3 ，

- a 3

)上是減函數
要使方程x³+ax-a=0有三個不同的根，
只需

g(- - a 3 )＞0 g( - a 3 )＜0.

(- - a 3 )3-a( - a 3 )-a＞0 ( - a 3 )3+a - a 3 -a＜0.

（5分）
解得a＜-

27

4

．（6分）
（Ⅱ）∵g（x）=x³+ax-a，x→∞g(x)→∞g(-

- a 3

)＞0，
由函數連續性知-∞＜x₁＜-

- a 3

，（8分）
∵a＜-

27

4

，∴g（-3）=-27-4a＞0，（10分）
且-3＜-

-a 3

，∴x₁＜-3．（12分）