Question

設正數a，b滿足a+b=2，則當a=

 

時，

1

2a

+

a

b

取得最小值．

Answer 1

分析：由于正數a，b滿足a+b=2，可得

1

2a

+

a

b

=

1

2a

+

2-b

b

=

1

2

(a+b)(

1

2a

+

2

b

)-1=

1

2

(

1

2

+2+

b

2a

+

2a

b

)-1，利用基本不等式即可．

解答：解：∵正數a，b滿足a+b=2，
∴

1

2a

+

a

b

=

1

2a

+

2-b

b

=

1

2

(a+b)(

1

2a

+

2

b

)-1=

1

2

(

1

2

+2+

b

2a

+

2a

b

)-1≥

1

2

(

5

2

+2)-1=

5

4

，當且僅當b=2a=

4

3

時取等號，即

1

2a

+

a

b

取得最小值

5

4

．
故當a=

2

3

時，

1

2a

+

a

b

取得最小值．
故答案為：

2

3

．

點評：本題考查了通過變形路基本不等式求解最小值問題，屬于中檔題．