Question

（本題滿分8分）

如圖，A₁A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點，

A₁A＝AB＝2.

（Ⅰ）求證：BC⊥平面A₁AC；

（Ⅱ）求三棱錐A₁－ABC的體積的最大值.

Answer 1

（本題滿分8分）

證明:∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點，且AB是圓柱底面圓的直徑，

∴BC⊥AC, ∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，∴AA₁⊥BC，

∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，ACÌ平面AA₁ C，

∴BC⊥平面AA₁C. （3分）

(2)設AC=x，在Rt△ABC中， (0<x<2) , 

故(0<x<2),　　（５分）

即.

∵0<x<2，0<x²<4，∴當x²=2，

即時，三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為.　　（８分）