Question

等差數列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，數列{

1

bn

}的前n項和為T_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式．
（2）求證：Tn＜

1

3

Answer 1

分析：（1）∵等差數列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，故不難構造關于首項和公差的方程組，解方程組求出基本項（首項與公差）不難得到數列的通項公式，
（2）由（1）的結論，及b_n=a_na_n+1，可以給數列{

1

bn

}的通項公式及前n項和為T_n的表達式，再利用不等式的方法易證．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12
∴

a1+2d=7 3a1+3d=12

解得

a1=1 d=3

∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=3n-2（n∈N^*）
（2）∵b_n=a_na_n-1，
∴b_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴數列{

1

bn

}的前n項和
Tn=

1

3

[1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

11

++

1

3n-5

-

1

3n-2

+

1

3n-2

-

1

3n+1

]
=

1

3

(1-

1

3n+1

)
＜

1

3

點評：方程思想是解決數列問題的基本思想，通過公差列方程（組）來求解基本量是數列中最基本的方法，同時在解題中也要注意數列性質的應用．如果數列的通項公式為

1

f(n)•f(n+1)

的形式時，常使用拆項法將數列的一項

1

f(n)•f(n+1)

分解為K[

1

f(n)

-

1

f(n+1)

]的形式，利用相鄰項之間的正負項可以抵消來簡化數列的前n項和表達式．