Question

如圖，已知拋物線y=4-x²與直線y=3x的兩個交點分別為A、B，點P在拋物線上從A向B運動（點P不同于點A、B），
（Ⅰ）求由拋物線y=4-x²與直線y=3x所圍成的圖形面積；
（Ⅱ）求使△PAB的面積為最大時P點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯立方程

y=4-x2 y=3x

可求A（1，3），B（-4，-12），所求圖形的面積為s=

∫

1 -4

[(4-x2)-3x]dx，利用積分可求
（Ⅱ）設點P的坐標為（a，b）由（Ⅰ）可得A，B，要使△PAB的面積最大即使點P到直線3x-y=0的距離最大，故過點P的切線與直線3x-y=0平行，從而可求

解答：解（Ⅰ）由

y=4-x2 y=3x

解得

x=-4 y=-12

或

x=1 y=3

即A（1，3），B（-4，-12）
因此所求圖形的面積為s=

∫

1 -4

[(4-x2)-3x]dx=(4x-

1

3

x3-

3

2

x2)

|

1 -4

=

125

6

（Ⅱ）設點P的坐標為（a，b）由（Ⅰ）得A（1，3），B（-4，-12）
要使△PAB的面積最大即使點P到直線3x-y=0的距離最大  故過點P的切線與直線3x-y=0平行
又過點P的切線得斜率為k=y'=-2x|_x=a=-2a∴-2a=3即a=-

3

2

，b=

7

4

∴P點的坐標為(-

3

2

，

7

4

)時，△PAB的面積最大．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關系的應用．利用定積分求解圖象的面積的最值，屬于基礎試題