Question

如圖，已知拋物線y=4-x²與直線y=3x的兩個交點分別為A、B，點P在拋物線上從A向B運動（點P不同于點A、B），
（Ⅰ）求由拋物線y=4-x²與直線y=3x所圍成的圖形面積；
（Ⅱ）求使△PAB的面積為最大時P點的坐標．

Answer 1

解（Ⅰ）由解得或
即A（1，3），B（-4，-12）
因此所求圖形的面積為=
（Ⅱ）設點P的坐標為（a，b）由（Ⅰ）得A（1，3），B（-4，-12）
要使△PAB的面積最大即使點P到直線3x-y=0的距離最大 故過點P的切線與直線3x-y=0平行
又過點P的切線得斜率為k=y'=-2x|_x=a=-2a∴-2a=3即，
∴P點的坐標為時，△PAB的面積最大．
分析：（Ⅰ）聯立方程可求A（1，3），B（-4，-12），所求圖形的面積為，利用積分可求
（Ⅱ）設點P的坐標為（a，b）由（Ⅰ）可得A，B，要使△PAB的面積最大即使點P到直線3x-y=0的距離最大，故過點P的切線與直線3x-y=0平行，從而可求
點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關系的應用．利用定積分求解圖象的面積的最值，屬于基礎試題