Question

已知矩形ABCD內接于圓柱下底面的圓O，PA是圓柱的母線，若AB=6，AD=8，此圓柱的體積為300π，求異面直線AC與PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系A-xyz，求出向量

AC

與

PB

的坐標，設異面直線AC與PB所成角所成的角θ，
向量

AC

與

PB

的夾角為φ，利用兩個向量的夾角公式，求出cosφ 的值，再取絕對值即得所求．

解答：解：設圓柱下底面圓O的半徑為r，由矩形ABCD內接于圓O，可知AC是圓O的直徑，于是2r=AC=

62+82

=10，得r=5，
又圓柱的體積V=25π•PA=300π，可得PA=12．
分別以直線AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，可得

AC

=(6，8，0)，

PB

=(6，0，-12)，
設異面直線AC與PB所成角所成的角θ，向量

AC

與

PB

的夾角為φ，
則cosθ=|cosφ|=

| AC • PB |

| AC |•| PB |

=

36

10×6 5

=

3 5

25

，
故異面直線AC與PB所成角的余弦值為

3 5

25

．

點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，兩個向量的數量積的定義，求出向量

AC

與

PB

的坐標是解題的關鍵，
注意cosθ 和cosφ的關系．