Question

已知矩形ABCD內接于圓柱下底面的圓O，PA是圓柱的母線，若AB=6，AD=8，此圓柱的體積為300π，求異面直線AC與PB所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：建立空間直角坐標系A-xyz，求出向量與的坐標，設異面直線AC與PB所成角所成的角θ，
向量與的夾角為φ，利用兩個向量的夾角公式，求出cosφ 的值，再取絕對值即得所求．
解答：解：設圓柱下底面圓O的半徑為r，由矩形ABCD內接于圓O，可知AC是圓O的直徑，于是，得r=5，
又圓柱的體積V=25π•PA=300π，可得PA=12．
分別以直線AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，可得，
設異面直線AC與PB所成角所成的角θ，向量與的夾角為φ，
則，
故異面直線AC與PB所成角的余弦值為．
點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，兩個向量的數量積的定義，求出向量與的坐標是解題的關鍵，
注意cosθ 和cosφ的關系．