Question

在平面直角坐標系中，已知A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+1）共線，其中θ∈(-

π

2

，

π

2

)．
（1）將x表示為y的函數，并求出函數表達式y=f（x）；
（2）若y=f（x）在[-1，

3

]上是單調函數，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，欲求函數表達式y=f（x），可由A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+3）三點共線建立方程，得到y關于x的函數表達式；
（2）由（1）y關于x的函數表達式是一個二次函數，由于其在[-1，

3

]上是單調函數，可知此區間一定在函數對稱軸的一側，由此關系轉化出關于θ的三角不等式，解出θ的取值范圍

解答：解：（1）∵A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+1）
∴

AB

=（1，x），

AC

=（x+2tanθ，y+1）
∵A，B，C三點共線，
∴x（x+2tanθ）-（y+1）=0
即y=f（x）=x²+2xtanθ-1
∴f（x）=x²+2xtanθ-1
（2）∵f（x）=x²+2xtanθ-1=（x+tanθ）²-tan²θ-1
又y=f（x）在[-1，

3

]上是單調函數
∴-tanθ≥

3

或-tanθ≤-1即tanθ≤-

3

或tanθ≥1
∵θ∈（-

π

2

，

π

2

），
∴θ∈（-

π

2

，-

π

3

]∪[

π

4

，

π

2

）
∴θ的取值范圍是（-

π

2

，-

π

3

]∪[

π

4

，

π

2

）

點評：本題考查平面向量的綜合運用，是向量與函數相結合的一個題，第一小題解題的關鍵是理解三點共線，由三點共線得出x與y關系的方程，整理出函數表達式；第二小題是一個考查二次函數性質的題，理解二次函數的單調性，將單調性轉化為不等式是解題的關鍵，本題考查了轉化的思想，方程的思想，涉及到了向量的共線條件，二次函數的性質，三角不等式的解法，是一道綜合性較強的題