Question

已知圓心為P的動圓與直線y=-2相切，且與定圓x²+（y-1）²=1內切，記點P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設斜率為的直線與曲線E相切，求此時直線到原點的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線與圓相切的性質、兩圓相內切的性質及拋物線的定義即可得出；
（2）利用導數的幾何意義、直線的點斜式、點到直線的距離公式即可得出．
解答：解：（1）設圓心P（x，y），∵圓P與直線y=-2相切，∴圓P的半徑R=|y+2|．
又∵原P與定圓x²+（y-1）²=1內切，
∴|y+2|-1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，
∴點P到定直線y=-1與到定點F（0，1）的距離相等，
∴點P的軌跡是拋物線x²=4y．即曲線E的方程為x²=4y．
（2）設斜率為的直線與曲線E相切于點M（x，y）．
由曲線E的方程為x²=4y，∴，∴切線的斜率為，
∴，即，∴=8，
∴切點為．
∴切線方程為，化為．
∴原點到此切線的距離d==．
點評：熟練掌握直線與圓相切的性質、兩圓相內切的性質及拋物線的定義、導數的幾何意義、直線的點斜式、點到直線的距離公式是解題的關鍵．