Question

已知圓心為P的動圓與直線y=﹣2相切，且與定圓x²+（y﹣1）²=1內切，記點P的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）設斜率為的直線與曲線E相切，求此時直線到原點的距離．

Answer 1

考點：

軌跡方程；利用導數研究曲線上某點切線方程；點到直線的距離公式．

專題：

圓錐曲線的定義、性質與方程．

分析：

（1）利用直線與圓相切的性質、兩圓相內切的性質及拋物線的定義即可得出；

（2）利用導數的幾何意義、直線的點斜式、點到直線的距離公式即可得出．

解答：

解：（1）設圓心P（x，y），∵圓P與直線y=﹣2相切，∴圓P的半徑R=|y+2|．

又∵原P與定圓x²+（y﹣1）²=1內切，

∴|y+2|﹣1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，

∴點P到定直線y=﹣1與到定點F（0，1）的距離相等，

∴點P的軌跡是拋物線x²=4y．即曲線E的方程為x²=4y．

（2）設斜率為的直線與曲線E相切于點M（x₀，y₀）．

由曲線E的方程為x²=4y，∴，∴切線的斜率為，

∴，即，∴=8，

∴切點為．

∴切線方程為，化為．

∴原點到此切線的距離d==．

點評：

熟練掌握直線與圓相切的性質、兩圓相內切的性質及拋物線的定義、導數的幾何意義、直線的點斜式、點到直線的距離公式是解題的關鍵．