Question

若公比為c的等比數列{a_n}的首項a₁=1且滿足a_n=(n=3,4,…).

(1)求c的值;

(2)求數列{na_n}的前n項和S_n.

Answer 1

解：(1)由題設,當n≥3時,a_n=c²a_n-2,

a_n-1=ca_n-2,

a_n=

由題設條件可得:a_n-2≠0,因此c²=,即

2c²-c-1=0.

解得c=1或c=.

(2)由(1)知需要分兩種情況討論.

當c=1時,數列{a_n}是一個常數列,

即a_n=1(n∈N₊).

這時,數列{na_n}的前n項和

S_n=1+2+3+…+n=.

當c=時,數列{a_n}是一個公比為的等比數列,即a_n=()^n-1(n∈N₊).

這時,數列{na_n}的前n項和

S_n=1+2×()+3×()²+…+n·()^n-1,               ①

①式兩邊同乘,得S_n=+2×()²+…+(n-1)·()^n-1+n·()ⁿ.         ②

①式減去②式,得

(1+)S_n=1+()+()²+…+()^n-1-n·()ⁿ=-n()ⁿ.

所以S_n=［4-(-1)ⁿ］(n∈N₊).

溫馨提示

    （1）對于等比數列的判定，往往由通項公式決定，同時本題更用到了等比數列前n項和S_n的推導方法——錯位相減法.

    (2)一般地，如果數列{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，公比為q，求數列{a_n·b_n}的前n項和時，可采用這一思路和方法.

    (3)在寫出“S_n”與“qS_n”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確寫出“S_n-qS_n”的表達式.