Question

已知a＞1，設函數f（x）=a^x+x-4的零點為m，g（x）=log_ax+x-4的零點為n，則mn的最大值為（　　）

• A、8
• B、4
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：由題意可得，函數y=a^x的圖象和直線y=4-x的交點的橫坐標為m，函數y=log_ax的圖象和直線y=4-x的交點的橫坐標為n．再根據函數y=a^x和y=log_ax互為反函數，可得點（m，4-m）與點 （n，4-n）關于直線y=x對稱，

m+n

2

=

4-m+4-n

2

，可得 m+n=4，再利用基本不等式求得mn的最大值．

解答：解：∵a＞1，設函數f（x）=a^x+x-4的零點為m，g（x）=log_ax+x-4的零點為n，
∴函數y=a^x的圖象和直線y=4-x的交點的橫坐標為m，
函數y=log_ax的圖象和直線4-x的交點的橫坐標為n．
再根據函數y=a^x和y=log_ax互為反函數，可得點（m，4-m）與點 （n，4-n）關于直線y=x對稱，
∴

m+n

2

=

4-m+4-n

2

，可得 m+n=4≥2

mn

，
∴mn≤4，當且僅當m=n=2時，等號成立，
故mn的最大值為4，
故選：B．

點評：本題主要考查函數的零點和方程的根的關系，函數與反函數圖象間的關系，基本不等式的應用，屬于中檔題．