Question

已知a＞0，設函數f(x)=

2009x+1+2007

2009x+1

+sinx(x∈[-a，a])的最大值為M，最小值為N，那么M+N=

 

．

Answer 1

分析：要求f（x）的最大值與最小值之和，可分解為求

2009x+1+2007

2009x+1

的最大值與最小值之和sinx的最大值與最小值之和，利用它們的單調性，求解即可．

解答：解：∵f(x)=

2009x+1+2007

2009x+1

+sinx(x∈[-a，a])
∴設g（x）=

2009x+1+2007

2009x+1

，
則g（x）=

2009x+1+2009-2

2009x+1

=2009-

2

2009x+1

，
∵2009^x是R上的增函數，∴g（x）也是R上的增函數．
∴函數g（x）在[-a，a]上的最大值是g（a），最小值是g（-a）．
∵函數y=sinx是奇函數，它在[-a，a]上的最大值與最小值互為相反數，最大值與最小值的和為0．
∴函數f（x）的最大值M與最小值N之和M+N=g（a）+g（-a）
=2009-

2

2009a+1

+2009-

2

2009-a+1

…第四項分子分母同乘以2009^a
=4018-[

2

2009a+1

+

2×2009a

2009a+1

]
=4018-2=4016．
故答案為4016．

點評：本題通過求函數的最值問題，綜合考查了有理數指數冪的運算性質，指數函數的單調性，正弦函數的單調性，難度比較大．