Question

設F₁，F₂分別是橢圓：的左、右焦點，過F₁傾斜角為45°的直線l與該橢圓相交于P，Q兩點，且．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設點M（0，-1）滿足|MP|=|MQ|，求該橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線l的方程為y=x+c，與橢圓方程消去y得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系，得P、Q橫坐標之和與橫坐標之積關于a、b、c的式子．再用弦長公式結合PQ的長度為，列出關于a、b、c的方程，化簡整理可得a=b，由此不難求出該橢圓的離心率．
（2）根據|MP|=|MQ|，得M點在PQ的中垂線上，由此結合（1）中的條件，列出關于c的方程并解之得c=3，再根據離心率算出a、b之值，即可得到該橢圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）由直線PQ斜率為1，可設直線l的方程為y=x+c，其中c=．…（2分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則兩點坐標滿足方程組
消去y，整理得（a²+b²）x²+2a²cx+a²（c²-b²）=0，
可得：
∵，∴
由此可得
即（）²-4（）²=．…（6分）
整理，得a²=2b²，a=b
∴橢圓的離心率e===．…（8分）
（Ⅱ）設PQ 中點為N（x，y），由（1）知
x===-，y=x+c=c．
由|MP|=|MQ|，得MN與直線y=x+c垂直，所以MN的斜率k=-1．…（10分）
∴=-1，即=-1，解得c=3，從而a=3，b=3．
因此，橢圓的方程為+=1…（12分）
點評：本題給出直線與橢圓相交，在已知弦長的情況下求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的基本概念、簡單幾何性質和直線與橢圓的位置關系等知識，屬于基礎題．