Question

設奇函數f（x）=

3x-a

3x+1

的反函數為f^-1（x），則（　　）

• A、f^--1（

  1

  2

  ）＞f^--1（

  1

  3

  ）
• B、f^-1（3）＞f^-1（2）
• C、f^--1（

  1

  2

  ）＜f^-1（

  1

  3

  ）
• D、f^-1（3）＜f^-1（2）

Answer 1

分析：要充分利用函數的奇偶性的概念，對于奇函數有一個結論：奇函數在x=0處有定義，則有f（0）=0，本題可以充分利用這一點來求參數a的值，然后求出反函數的定義域，用定義法判斷其單調性，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形與零比較，得到f^-1（x₁）與f^-1（x₂）關系，可得結論．

解答：解：f（x）為奇函數，f（0）=

1-a

1+1

=0∴a=1
經檢驗，a=1時f（x）是奇函數
∴f（x）=y=

3x-1

3x+1

則3^x=

1+y

1-y

＞0∴-1＜y＜1
∴f^-1（x）=log3

1+x

1-x

 （x∈（-1，1）．
當-＜x₁＜x₂＜1時，

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴

1+x1

1-x1

＜

1+x2

1-x2

，
于是：l0g 3

1+x1

1-x1

＜l0g 3

1+x2

1-x2

，
即：f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在（-1，1）上是增函數．
故選A．

點評：本題主要考查函數的反函數的求法及其單調性的判斷，在求反函數時，要抓住x與y互換和原函數與反函數定義域與值域互換這兩點．