Question

（12分）如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖．在直觀圖中，是的中點.側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示.

（Ⅰ）求出該幾何體的體積；

（Ⅱ）求證：EM∥平面ABC；

(Ⅲ) 試問在棱DC上是否存在點N，

使NM⊥平面？ 若存在，確定點N的位置；

若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：由題意，Ea⊥平面ABC , DC⊥平面ABC ,AE∥DC,ae=2, dc=4 ,ab⊥ac,

且AB=AC=2

（Ⅰ）∵Ea⊥平面ABC，∴ea⊥ab, 又ab⊥ac,

      ∴ab⊥平面acde

    ∴四棱錐b-acde的高h=ab=2，梯形acde的面積S= 6

∴， 即所求幾何體的體積為4

　                  ………………………………４分

（Ⅱ）證明：∵m為db的中點，取bc中點G，連接em,mG,aG，

  ∴ mG∥DC，且

  ∴ mG   ae，∴四邊形aGme為平行四邊形，

  ∴em∥aG, 又AG平面ABC   ∴EM∥平面ABC.　　

……………………………………8分

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，em∥aG，

又∵平面BCD⊥底面ABC，aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD

∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，

   ∴平面BDE⊥平面BCD

在平面BCD中，過M作MN⊥DB交DC于點N,

∴MN⊥平面BDE  點n即為所求的點

∽

 

∴ 邊DC上存在點N，滿足DN=DC時，有NM⊥平面BDE.　　

解法2：以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則 A（0，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0）

    D（－2，0，4），E（0，0，2），M（-1，1，2），

    （2，2，-4），（2，0，-2），

    （0，0，-4），（1，1，-2）.

    假設在DC邊上存在點N滿足題意，

   

    ∴邊DC上存在點N，滿足DN=DC時，NM⊥平面BDE.　　

………………………………………12分