Question

在曲線y=x²（x≥0）上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍圖形的面積為

1

12

．試求切點A的坐標及過切點A的切線方程．

Answer 1

分析：求切點A的坐標及過切點A的切線方程，先求切點A的坐標，設點A的坐標為（a，a²），只須在切點處的切線方程，故先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線的方程進而求得面積的表達式．最后建立關于a的方程解之即得．最后求出其斜率的值即可，即導數值即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答：解：如圖所示，設切點A（x₀，y₀），
由y′=2x，得過點A的切線方程為
y-y₀=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²．
令y=0，得x=

x0

2

，即C（

x0

2

，0）．
設由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S．
S_{曲邊三角形AOB}=∫x₀₀x²dx=

1

3

x^3|x₀₀=

1

3

x₀³，
S_△ABC=

1

2

|BC|•|AB|=

1

2

（x₀-

x0

2

）•x₀²=

1

4

x₀³．
∴S=

1

3

x₀³-

1

4

x₀³=

1

12

x₀³=

1

12

．
∴x₀=1，從而切點A的坐標為（1，1），切線方程為y=2x-1．

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、定積分的應用、直線的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．