Question

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上運動，設∠ABP=θ，將△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC長最小時θ的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：折疊問題要注意變與不變，觀察圖形將AC的長度用已知的量AB，AD，θ的三角函數表示出來．再根據其形式來進行運算求值．
解答：解：過A作AH⊥BP于H，連CH，∴AH⊥平面BCDP．
∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．
在△BHC中，CH²=（3cosθ）²+4²-2×4×3cosθ×cos（90°-θ），
∴在Rt△ACH中，
AC²=25-12sin2θ，
∴θ=45°時，AC長最小．
答案：45°
點評：考查折疊問題與面面垂直的性質，此類題一般要求先通過圖象進行細致分析，將求AC最值的問題轉化為求相應函數的最值問題．本題與三角函數的結合，用三角的有界性求最佳，是其一亮點．