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如圖,在矩形ABCD中,已知AD=2,AB=a(a>2),E、F、G、H分別是邊AD、AB、BC、CD上的點,若AE=AF=CG=CH,問AE取何值時,四邊形EFGH的面積最大?并求最大的面積.
分析:設AE=x,四邊形EFGH的面積為S,則可知S=2a-x2-(2-x)(a-x),化簡并配方得S=-2(x-
a+2
4
)2+
(a+2)2
8
,x∈(0,2],即函數的對稱軸為x=
a+2
4
,從而分類討論可求函數的最大值.
解答:解:設AE=x,四邊形EFGH的面積為S,則-----------------------------------------(1分)
S=2a-x2-(2-x)(a-x)
=-2x2+(a+2)x
=-2(x-
a+2
4
)2+
(a+2)2
8
,x∈(0,2]
(1)若
a+2
4
≤2
,即2<a≤6,則當x=
a+2
4
時,S取得最大值是Smax=
(a+2)2
8
;--(8分)
(2)若
a+2
4
>2
,即a>6,函數S=-2x2+(a+2)x在區間(0,2]上是增函數,
則當x=2時,S取得最大值是Smax=2a-4;------(12分)
綜上可得面積EFGH的最大值為
(a+2)2
8
       ,2<a≤6
2a-4               ,a>6
點評:本題以實際問題為載體,考查二次函數模型的構建,考查二次函數在閉區間上的最值討論,解題的關鍵是針對函數的定義域,結合函數的對稱軸分類討論.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點,EP⊥平面ABCD.
(1) 求證:AQ∥平面CEP;
(2) 求證:平面AEQ⊥平面DEP.

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精英家教網如圖,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E為AB的中點,現將△AED沿DE折起,使點A到點P處,滿足PB=PC,設M、H分別為PC、DE的中點.
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如圖,在矩形ABCD中,AB=3
3
,BC=3,沿對角線BD將BCD折起,使點C移到點C′,且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
(1)求證:BC′⊥面ADC′;
(2)求二面角A-BC′-D的正弦值.

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(1)若動點M到D點距離等于它到C點距離的兩倍,求動點M的軌跡圍成區域的面積;
(2)證明:E G⊥D F.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=
12
BC,E為AD的中點,將△ABE沿BE折起,使平面ABE⊥平面BCDE.
(1)求證:CE⊥AB;
(2)在線段BC上找一點F,使DF∥平面ABE.

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