Question

已知函數y=kx+2-k 的圖象恒過點P，若P在直線 mx+ny-1=0 （m＞0，n＞0）上，那么log₂m+log₂n的最大值為

-3

．

Answer 1

分析：可求得函數y=kx+2-k 的圖象恒過的定點P的坐標，將其代入直線 mx+ny-1=0，求得m，n之間的關系式，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵y=kx+2-k，
∴k（x-1）+2-y=0，
當x=1時，y=2，
∴函數y=kx+2-k 的圖象恒過點P（1，2）．
∵P（1，2）在直線 mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，
∴m+2n=1，又m＞0，n＞0，
∴1=m+2n≥2

2mn

，
∴mn≤

1

8

（當且僅當m=2n=

1

2

時取“=”）．
∴log₂m+log₂n=log₂mn≤log2

1

8

=-3．
∴log₂m+log₂n的最大值為-3．

點評：本題考查恒過定點的直線，考查對數的運算性質及基本不等式的應用，屬于中檔題．