Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，前kn項和記為S_kn（n，k∈N^*），對給定的常數k，若是與n無關的非零常數t=f（k），則稱該數列{a_n}是“k類和科比數列”．
（理科）（1）已知，求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明（1）的數列{a_n}是一個“k類和科比數列”；
（3）設正數列{c_n}是一個等比數列，首項c₁，公比Q（Q≠1），若數列{lgc_n}是一個“k類和科比數列”，探究c₁與Q的關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件知，化簡整理2a_n+1+2a_n=a_n+1²-a_n²，a_n+1-a_n=2，由此能求出求數列{a_n}的通項公式；
（2）計算S_（k+1）n=（k+1）²n²；S_kn=k²n²；所以與n無關的常數，所以數列{a_n}是一個“k類和科比數列”．
（3）是一個常數，所以{lgc_n}是一個等差數列，首項lgc₁，公差lgQ．由此入手能夠推導出Q=c₁²．
解答：解：（1）作差得（1分）
化簡整理2a_n+1+2a_n=a_n+1²-a_n²，∴a_n+1-a_n=2（2分）
所以{a_n}成等差數列（1分）
a_n=2n-1（1分）
（2）計算S_（k+1）n=（k+1）²n²；S_kn=k²n²；所以與n無關的常數
所以數列{a_n}是一個“k類和科比數列”（4分）
（3）是一個常數，
所以{lgc_n}是一個等差數列，首項lgc₁，公差lgQ（1分）（1分）（1分）對一切n∈N^*恒成立
化簡整理[（k+1）²-k²t]•lgQ•n+[（k+1）-kt]（2lgc₁-lgQ）=0對一切n∈N^*恒成立，
所以（3分）∴Q=c₁²（1分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意理解新概念，避免不必要的錯誤．