Question

某校為擴大教學規模，從今年起擴大招生，現有學生人數為b人，以后學生人數年增長率為4.9‰．該校今年年初有舊實驗設備a套，其中需要換掉的舊設備占了一半．學校決定每年以當年年初設備數量的10%的增長率增加新設備，同時每年換掉x套的舊設備．
（1）如果10年后該校學生的人均占有設備的比率正好比目前翻一番，那么每年應更換的舊設備是多少套？
（2）依照（1）的更換速度，共需多少年能更換所有需要更換的舊設備？下列數據供計算時參考：

1.19≈2.36	1.00499≈1.04
1.110≈2.59	1.004910≈1.05
1.111≈2.85	1.004911≈1.06

Answer 1

分析：（1）求出10年后該校學生的合格實驗設備，再利用10年后該校學生的人均占有設備的比率正好比目前翻一番，即可得到每年應更換的舊設備的套數；
（2）利用

1

2

a÷

a

32

=16年，即可求得全部更換舊設備需要的時間．

解答：解：（1）10年后學生人數為b（1+4.9‰）¹⁰=1.05b．
又設今年起學校的合格實驗設備為數列{a_n}，則a₁=1.1a-x，a_n+1=1.1a_n-x，（*）
令a_n+1+λ=1.1（a_n+λ），則a_n+1=1.1a_n+0.1λ，與（*）式比較知λ=-10x，
故數列{a_n-10x}是首項為1.1a-11x，公比為1.1的等比數列，
所以a_n-10x=（1.1a-11x）•1.1^n-1，所以a_n=10x+（1.1a-11x）•1.1^n-1．
∴a₁₀=10x+（1.1a-11x）•1.1⁹≈2.6a-16x．
由題設得

2.6a-16x

1.05b

=2×

a

b

，解得x=

1

32

a．
即每年更換舊設備為

1

32

a套．
（2）全部更換舊設備需

1

2

a÷

a

32

=16年．
即按此速度全部更換舊設備需16年．

點評：本題考查數列模型的建立，考查利用數學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．