Question

已知函數，在(－∞，－1)，(2，＋∞)上單調遞增，在(－1，2)上單調遞減，當且僅當x＞4時，．

（Ⅰ）求函數f(x)的解析式；

（Ⅱ）若函數與函數f(x)、g(x)的圖象共有3個交點，求m的取值范圍．

Answer 1

（I）f(x)＝ x³－x²－6x－11 

       （II）m的取值范圍是(－21，－)∪(1，5)∪(5,＋∞) 

解析:

（I）f(x)＝3x²＋2ax＋b，由題意，－1，2是方程f’(x)＝0的兩根．

∴                                            4分

∴f(x1)＝x³－x²－6x＋0

令h(x)＝f(x)－g(x)＝ x³－x²－2x＋c－5

h’(x)＝3x²－5x－2＝(3x＋1) (x－2)

當x＞4時，h’(x)＞0，h(x)是增函數，∴h(4)＝11＋c＝0    ∴c＝－11         7分

∴f(x)＝ x³－x²－6x－11                                              8分

（Ⅱ）g(x)＝(x－2)²＋1    當x＝2時，g(x)_min＝1

  f(x)_極大值＝f(－1)＝－   f(x)_極小值＝f(2)＝－2l                         11分

作出函數f(x)、g(x)的草圖，由圖可得，當函數y＝m與函數f(x)、g(x)的圖象共有3個交點，

m的取值范圍是(－21，－)∪(1，5)∪(5,＋∞)                   15分