Question

已知函數(shù)y=f（x）=

ax2+1

bx+c

（a＞0，b＞0，c∈R）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）有最小值2，其中b∈{N^*}且
f（1）＜

5

2

，試求函數(shù)f（x）的解析式并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)即f（-x）=-f（x）求得c=0，進(jìn)而把函數(shù)解析式整理成

a

b

x+

1

bx

根據(jù)均值不等式求得函數(shù)f（x）的最小值的表達(dá)式，結(jié)果為2求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)f（1）＜

5

2

求得b的范圍，最后根據(jù)b為整數(shù)求得b的值，則a的值可得．進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：f（-x）=

ax2+1

-bx+c

=-f（x）=-

ax2+1

bx+c

∴-bx+c=-bx-c
∴c=0
∴f（x）=

ax2+1

bx

=

a

b

x+

1

bx

因?yàn)?a＞0，b＞0，x＞0 f（x）≥2

a b2

=

2 a

b

=2
∴a=b²，
f（1）=

a+1

b

=

b2+1

b

＜

5

2

∴（2b-1）（b-2）＜0
∴

1

2

＜b＜2，而b為整數(shù)，所以b=1，a=b²=1
∴f（x）=x+

1

x

∴單調(diào)區(qū)間：（-1，0），（0，1）．單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-1]，[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，均值不等式的應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．