Question

（1）定義：若數列{d_n}滿足d_n+1=d_n²，則稱{d_n}為“平方遞推數列”．已知：數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n²+2a_n．
①求證：數列{2a_n+1}是“平方遞推數列”；
②求證：數列{lg（2a_n+1）}是等比數列；
③求數列{a_n}的通項公式．
（2）已知：數列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=p²b_n³+3pb_n²+3b_n（p＞0），求：數列{b_n}的通項．

Answer 1

【答案】分析：（1）①依據“平方遞推數列”定義，結合條件a_n+1=2a_n²+2a_n，可證數列{2a_n+1}是“平方遞推數列”，
②令b_n=2a_n+1，進而有lgbn+1=2lgbn．從而可證數列{lgbn}為等比數列；
③由②知，數列{lg（2a_n+1）}是以lg5為首項，2為公比的等比數列，故可求
（2）兩邊同乘以p整理得，pb_n+1+1=（pb_n+1）³，兩邊取對數得：lg（pb_n+1+1）=3lg（pb_n+1），故數列{lg（pb_n+1）}是以lg（p+1）為首項，3為公比的等比數列，從而可求數列{b_n}的通項．
解答：解：（1）①由條件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴數列{2a_n+1}是“平方遞推數列”；
②令b_n=2a_n+1，∴b_n+1=2a_n+1+1．則lgb_n+1=2lgb_n．
∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，∴=2．
數列{lg（2a_n+1）}是等比數列；
③由②知，lg（2a_n+1）=，∴2a_n+1=，∴a_n=
（2）兩邊同乘以p得，pb_n+1=p³b_n³+3p²b_n²+3pb_n（p＞0），
∴pb_n+1+1=p³b_n³+3p²b_n²+3pb_n+1=（pb_n+1）³，
兩邊取對數得：lg（pb_n+1+1）=3lg（pb_n+1）
∴數列{lg（pb_n+1）}是以lg（p+1）為首項，3為公比的等比數列
∴lg（pb_n+1）=3^n-1lg（p+1）
∴b_n=
點評：本題的考點是數列遞推式，主要考查新定義，將數列放到新情境中，關鍵是正確理解題意，挖掘問題的本質與隱含，解題時應注意構造新數列，從而使問題得解．