Question

等比數列{a_n}的各項均為正數，其前n項中，數值最大的一項是54，若該數列的前n項之和為S_n，且S_n=80，S_2n=6560，求：
（1）前100項之和S₁₀₀．
（2）通項公式a_n．

Answer 1

分析：根據S_2n-S_n=6480＞S_n，可推斷出公比大于1，即數列為遞增數列，故可知第n項為數值的最大項．與S_n=80，S_2n=6560聯立方程可求得首項a₁和q，進而可求出前100項之和和通項公式．

解答：解：設公比為q，∵S_2n-S_n=6480＞S_n，
∴q＞1．
又由a_n＞0，則最大項是a_n=a₁q^n-1=54；①
又S_n=

a1(1-qn)

1-q

=80，②
S_2n=

a1(1-q2n)

1-q

=6560，③
由①②③解得a₁=2，q=3，則
（1）前100項之和S₁₀₀=

2(3100-1)

3-1

=3¹⁰⁰-1．
（2）通項公式為a_n=2•3^n-1．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式和求和公式．關鍵是通過判斷數列的遞增或遞減找到數值最大項．