Question

已知極坐標系下曲線C的方程為ρ=2cosθ+4sinθ，直線l經過點P(

2

，

π

4

)，傾斜角α=

π

3

．
（Ⅰ）求直線l在相應直角坐標系下的參數方程；
（Ⅱ）設l與曲線C相交于兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．

Answer 1

（Ⅰ）∵直線l經過點P(

2

，

π

4

)，∴x=

2

cos

π

2

=1，y=

2

sin

π

4

=1，∴點P（1，1）．
∵直線l的傾斜角α=

π

3

，∴斜率k=tan

π

3

=

3

．
∴直線l的參數方程為

x=1+ 1 2 t y=1+ 3 2 t

(t為參數)．
（Ⅱ）∵曲線C的方程為ρ=2cosθ+4sinθ，∴ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，
∴x²+y²=2x+4y，
∴圓C：（x-1）²+（y-2）²=5，
把直線l的參數方程

x=1+ 1 2 t y=1+ 3 2 t

(t為參數)代入圓的方程得
t2-

3

t-4=0，
∴t₁t₂=-4．
∴|t₁t₂|=4即為點P到A、B兩點的距離之積．