Question

在 (

x

+

1

2x

)8展開式中，求：
（Ⅰ）展開式中的二項式系數之和及各項系數的和；
（Ⅱ）展開式中含x的一次冪的項．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在展開式中的二項式系數之和為C80+C81+…+C88=2⁸，運算求得結果．在展開式中，令x=1得，即得各項系數的和．
（Ⅱ）先求得通項公式，再令x的冪指數等于1，求得r的值，即可求得展開式中含x的一次冪的項．

解答：解：（Ⅰ）在展開式中的二項式系數之和為C80+C81+…+C88=2⁸=256，（3分）
在展開式中，令x=1得，各項系數的和為(1+

1

2

)8=(

3

2

)8．（6分）
（Ⅱ）設在(

x

+

1

2x

)8展開式中的通項為T_r+1，則Tr+1=C8r(

1

2

)rx

8-3r

2

(r=0，1，2，…，8)，（8分）
由題意得：

8-3r

2

=1，∴r=2，（10分）
∴T3=C82(

1

2

)2x=7x．（12分）

點評：本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．