Question

設函數y=f（x）在（-∞，+∞）內有定義．對于給定的正數K，定義函數fk(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，取函數f（x）=3-x-e^-x．若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x），則（　　）

• A、K的最大值為2
• B、K的最小值為2
• C、K的最大值為1
• D、K的最小值為1

Answer 1

分析：由函數的解析式可以看出，此分段函數的解析式是取兩個函數中函數值較小的那一個，若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x），說明f（x）=3-x-e^-x有最大值，求出其最大值，即得K的最小值

解答：解：由題意取函數f（x）=3-x-e^-x．若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x），故K≥f（x）_max
∵f′（x）=-1+e^-x，令f′（x）＞0得x＜0，令f′（x）＜0得x＞0，
∴函數f（x）=3-x-e^-x在x=0處取到最大值，為f（0）=3-0-e^-0=2
故K的最小值為2
故選B

點評：本題考查新定義及指數型函數的最值的求法，求解本題的關鍵是理解新定義的內容，以及用導數判斷出函數的單調性確定函數的最值．