Question

已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為,離心率是。橢圓C的左，右頂點分別記為A,B。點S是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點。

（1）       求橢圓C的方程；

（2）       求線段MN長度的最小值；

（3）       當線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：T到直線AS的距離等于.

試確定點T的個數。

 

Answer 1

【答案】

  解（1）因為，且，所以

         所以橢圓C的方程為         …………………………………………….3分

  (2 ) 易知橢圓C的左，右頂點坐標為,直線AS的斜率顯然存在，且

         故可設直線AS的方程為，從而

         由得

         設，則，得

         從而，即

         又,故直線BS的方程為

         由得，所以

         故

         又，所以

        當且僅當時，即時等號成立

        所以時，線段MN的長度取最小值        ………………………………..9分

（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，

此時AS的方程為，,

     因為點T到直線AS的距離等于，

     所以點T在平行于AS且與AS距離等于的直線上

     設，則由，解得

①  當時，由得

        由于，故直線與橢圓C有兩個不同交點

       ②時，由得

由于，故直線與橢圓C沒有交點

綜上所求點T的個數是2.                ……………………………………………..14分

【解析】略