Question

如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．E，F分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起，記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

(Ⅰ)求證：NC∥平面MFD；

(Ⅱ)若EC＝3，求證：ND⊥FC；

(Ⅲ)求四面體NFEC體積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)證明：因為四邊形MNEF、EFDC都是矩形，

　　所以MN∥EF∥CD，MN＝EF＝CD

　　所以四邊形MNCD是平行四邊形，……………………2分

　　所以NC∥MD，……………………3分

　　因為NC平面MFD，MD平面MFD，

　　所以NC∥平面MFD……………………4分

　　(II)證明：連接ED，設EDFC＝O．

　　因為平面MNEF平面ECDF，且NEEF，

　　由面面垂直的性質定理得NE平面ECDF……………………5分

　　因為FC平面ECDF，所以FCNE……………………6分

　　因為EC＝CD，所以四邊形ECDF為正方形，所以FCED

　　又EDNE＝E，所以FC平面NED……………………7分

　　因為ND平面NED，所以NDFC……………………8分

　　(III)解：設NE＝X，則EC＝4－x，其中0＜x＜4

　　由(I)得NE平面FEC，

　　所以四面體NFEC的體積為………………10分

　　所以………………11分

　　當且僅當x＝4－x，即x＝2時，四面體NFEC的體積最大．………………12分