Question

將圓O：x²+y²=4上各點的縱坐標變為原來的一半（橫坐標不變），得到曲線C．設O為坐標原點，直線l：與C交于A、B兩點，N為線段AB的中點，延長線段ON交C于點E．若，則m=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   8
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根據圓O：x²+y²=4上各點的縱坐標變為原來的一半（橫坐標不變），將圓O中y換為2y，變形后得到曲線C的方程，設A（x₁，y₁，B（x₂，y₂），將曲線C與圓O方程聯立，消去x得到關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出y₁+y₂，再由N為AB的中點，利用中點公式表示出N的縱坐標，將N縱坐標代入直線l方程中表示出橫坐標，確定出N的坐標，由，得到E的坐標，將E坐標代入曲線C方程中，得到關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
解答：解：將圓O：x²+y²=4上各點的縱坐標變為原來的一半（橫坐標不變），
得到曲線C方程為x²+4y²=4，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l與曲線C方程聯立得：，
消去x得：（m²+4）y²+2my-1=0，
∴y₁+y₂=-，
又N為AB的中點，設N（x₀，y₀），
∴y₀==-，
將y₀=代入方程得：x=m•（-）+=，
∴N（，-），
∵，
∴E（，-），
將E坐標代入x²+4y²=4得：（）²+4（-）²=4，
整理得：m⁴-4m²-32=0，
∴m²=8或m²=-4（舍去），
則m=±2．
故選D
點評：此題考查了圓與橢圓方程的變換，橢圓與直線的位置關系，韋達定理，線段中點坐標公式，以及平面向量的數量積運算，是一道綜合性較強的試題．