Question

已知函數f(x)=-x+2n

1+x2

在區間（0，+∞）上的最小值是a_n（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）設S_n為數列{

1

a 2 n

}的前n項的和，求

lim

n→∞

S_n的值；
（3）若Tn=

3

cos

π

an

 -sin

π

an

，試比較T_n與T_n+1的大小．

Answer 1

分析：（1）利用導數判斷函數的單調性，由函數的單調性確定函數的最小值，可求a_n的值．
（2）對數列{

1

a 2 n

}的同項公式進行變形、裂項求和，然后再對和求極限．
（3）化簡T_n的解析式，由

π

6

＜

π

an+1

+

π

6

＜

π

an

+

π

6

≤

π

3

+

π

6

＜

5π

6

，及
y=cosx在[0，π]上單調遞減，可得T_n＜T_n+1 ．

解答：解：（1）由題f′(x)=

2nx

1+x2

-1
令f'（x）=0，得x=

1

4n2-1

所以an=

4n2-1

；
（2）因為

1

a 2 n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)
所以

lim

n→∞

Sn=

1

2

（3）Tn=

3

cos

π

an

-sin

π

an

=2cos(

π

an

+

π

6

)，

又由

1

an

=

1

4n2-1

知0＜

1

an+1

＜

1

an

≤

1

3

，
從而

π

6

＜

π

an+1

+

π

6

＜

π

an

+

π

6

≤

π

3

+

π

6

＜

5π

6

又y=cosx在[0，π]上單調遞減，所以T_n＜T_n+1．

點評：本題考查在閉區間上利用導數求函數的最值，求數列的極限，及用裂項法進行數列求和．是中檔題．