Question

已知f（x）是定義在R的奇函數，且，（a≠0）．
（1）求f（x）的反函數f^-1（x），并求出定義域；
（2）設，若不等式f^-1（x）≥g（x）的解集為非空數集，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，可先由換元法求出f（x）的解析式，由于函數是一個奇函數，可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求出參數，再求出反函數f^-1（x），及定義域；
（2）不等式f^-1（x）≥g（x）的解集為非空數集，
解答：解：（1）由題意，令t=2x，代入得f（t）=，即f（x）=
又f（x）是定義在R的奇函數，
∴f（x）+f（-x）=0，即+=0解得a•2^x-a²+a-a²•2^x=0恒成立，故有a=a²，又 a≠0，可得a=1
∴f（x）=，令y==，解得x=
∴f^-1（x）=，
由于y==∈（-1，1），故f^-1（x）=的定義域是（-1，1），
（2）由題意得≥有解，即≥有解
由（1）定義域是（-1，1），故可得1+x≥解恒成立，與K的值無關
又＞0，可知k＞0
綜上，符合條件的實數k的取值范圍是k＞0
點評：本題考查了反函數的求法，求外層函數的解析式及對數不等式有根的問題，綜合性強，熟練掌握對數的運算性質，反函數的求法是解本題的關鍵，本題的難點是解f^-1（x）的解析式，本題是一個能力型題，考查了轉化的思想，運算能力及推理判斷的能力