Question

8．高斯函數f（x）=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，如[-2.3]=-3，[1.2]=1．設函數g（x）=x-f（x），函數u（x）={sinπx}，則下列說法正確的是（　　）

• A． 函數g（x）與u（x）的值域相同
• B． 函數g（x）與u（x）的最小正周期相同
• C． 函數g（x）與u（x）的單調區間相同
• D． 函數g（x）與u（x）奇偶性相同

Answer 1

分析 由題意，函數f（x）=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，這個整數必須是小于等于x的最大整數，g（x）=x-f（x），可得0≤g（x）＜1，函數u（x）={sinπx}={1，0，-1}．可得答案．

解答 解：由題意，函數f（x）=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，這個整數必須是小于等于x的最大整數，函數f（x）=x-[x]，則f（-x）=-x-[-x]
例如f（3.5）=3.5-[3.5]=3.5-3=0.5，而f（-3.5）=-3.5-[-3.5]=-3.5+4=0.5=f（3.5），則函數是偶函數；
g（x+1）=x+1-[x+1]=g（x）=x-[x]；∴g（x+1）=g（x）．是周期T=1的函數．∴0≤g（x）＜1，
函數u（x）={sinπx}={1，0，-1}，是奇函數，
綜上分析，可得函數g（x）與u（x）的單調區間相同，
故選C．

點評 本題主要考查了對新定義的充分理解和認識，求解函數的值域問題，已知“函數f（x）=[x]的函數值表示不超過x的最大整數”的含義是解題的關鍵