Question

【題目】傳說《西游記》中孫悟空的“如意金箍棒”原本是東海海底的一枚“定海神針”.作為兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孫悟空能讓其大小隨意變化。假定孫悟空在使用“如意金箍棒”與各路妖怪打斗時，都將其變化為底面半徑為4至10之間的圓柱體。現假定孫悟空剛與一妖怪打斗完畢，并降伏了此妖怪，此時“如意金箍棒”的底面半徑為10，長度為.在此基礎上，孫悟空使“如意金箍棒”的底面半徑以每秒1勻速縮短，同時長度以每秒40勻速增長，且在這一變化過程中，當“如意金箍棒”的底面半徑為8時，其體積最大.

（1）求在這一變化過程中，“如意金箍棒”的體積隨時間（秒）變化的解析式，并求出其定義域；

（2）假設在這一變化過程中，孫悟空在“如意金箍棒”體積最小時，將其定型，準備迎戰下一個妖怪。求此時“如意金箍棒”的底面半徑。

Answer 1

【答案】(1) ，定義域為 ；(2)4

【解析】

（1）根據時間，寫出“如意金箍棒”的底面半徑和長度，由此計算出體積的解析式，并根據半徑的范圍求得的取值范圍，也即定義域.利用導數求得的單調區間和極大值，根據此時“如意金箍棒”的底面半徑列方程，解方程求得的值，進而求得解析式.（2）由（1）中求得的單調區間，求得的最小值，并求得此時“如意金箍棒”的底面半徑.

解：（1）“如意金箍棒”在變化到秒時，其底面半徑為，長度為

則有，得：

時，（秒），由知，當時，取得極大值

所以，解得（）

所以，定義域為

（2）由（1）得：

所以當時，，當時，

所以在區間上為增函數，在區間上為減函數

則的最小值或；

又

所以當（秒）時，“如意金箍棒”體積最小，

此時，“如意金箍棒”的底面半徑為（）