Question

（2013•廣西一模）已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求通項公式a_n；
（2）設{a_n}的前n項和為S_n，問：是否存在正整數m、n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，請求出所有的符合條件的正整數對（m，n），若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首項為1，公差為2的等差數列；a₂，a₄，…，a_2n，…是首項為2，公比為3的等比數列，從而可得通項公式a_n；
（2）由（1）先求出S_2n，S_2n-1的表達式，若存在正整數m、n，使得S_2n=mS_2n-1，則m=

S2n

S2n-1

≤3，再分類討論，即可求得結論．

解答：解：（1）當n是奇數時，cosnπ=-1；當n是偶數時，cosnπ=1．
所以，當n是奇數時，a_n+2=a_n+2；當n是偶數時，a_n+2=3a_n． …（2分）
又a₁=1，a₂=2，，所以a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首項為1，公差為2的等差數列；
a₂，a₄，…，a_2n，…是首項為2，公比為3的等比數列．        …（4分）
所以，a_n=

n，n為奇數 2×3 n 2 -1，n為偶數

．          …（6分）
（2）由（1），得S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=3ⁿ+n²-1，
S_2n-1=S_2n-a_2n=3ⁿ+n²-1-2×3^n-1=3^n-1+n²-1．        …（8分）
所以，若存在正整數m、n，使得S_2n=mS_2n-1，則m=

S2n

S2n-1

=1+

2×3n-1

3n-1+n2-1

≤1+

2×3n-1

3n-1

=3． …（9分）
顯然，當m=1時，S_2n=3ⁿ+n²-1≠1×3^n-1+n²-1=S_2n-1；
當m=2時，由S_2n=2S_2n-1，整理得3^n-1=n²-1．
顯然，當n=1時，3^1-1≠1²-1；
當n=2時，3^2-1=2²-1，
所以（2，2）是符合條件的一個解．                  …（11分）
當n≥3時，3n-1=(1+2)n-1≥1+

2C

1 n-1

+4

C

2 n-1

=2n²-4n+3=（n-2）²+n²-1＞n²-1．       …（12分）
當m=3時，由S_2n=3S_2n-1，整理得n=1，
所以（3，1）是符合條件的另一個解．
綜上所述，所有的符合條件的正整數對（m，n），有且僅有（3，1）和（2，2）兩對． …（14分）

點評：本題考查數列的通項，考查存在性問題的探究，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．