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某沿海地區養殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續5個月,預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈持續上漲態勢,而中期又將出現供大于求使價格連續下跌.現有三種價格模擬函數:
①f(x)=p•qx
②f(x)=px2+qx+1;
③f(x)=x(x-q)2+p.(以上三式中p、q均為常數,且q>1)
(I)為準確研究其價格走勢,應選哪種價格模擬函數,為什么?
(Ⅱ)若f(0)=4,f(2)=6,求出所選函數f(x)的解析式(注:函數定義域是[0,5].其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,…,以此類推);
(Ⅲ)為保證養殖戶的經濟效益,當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷,請你預測該海鮮將在哪幾個月份內價格下跌.
【答案】分析:(I)利用價格呈現前幾次與后幾次均連續上升,中間幾次連續下降的趨勢,故可從三個函數的單調上考慮,前面兩個函數沒有出現兩個遞增區間和一個遞減區間,應選f(x)=x(x-q)2+p為其模擬函數;
(II)由題中條件:f(0)=4,f(2)=6,得方程組,求出p,q即可,從而得到f(x)的解析式;
(III)確定函數解析式,利用導數小于0,即可預測該果品在哪幾個月份內價格下跌.
解答:解:(I)因為f(x)=pqx是單調函數,f(x)=px2+qx+1,只有兩個單調區間,不符合題設中的價格變化規律
在f(x)=x(x-q)2+p中,f′(x)=3x2-4qx+q2
令f′(x)=0,得x=q,x=,即f(x)有兩個零點,可以出現兩個遞增區間和一個遞減區間,符合題設中的價格變化規律,所以應選f(x)=x(x-q)2+p為價格模擬函數;
(II)由f(0)=4,f(2)=6,得,∴p=4,q=3
(III)f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5,且x∈Z).
由f′(x)=3x2-12x+9≤0得:1≤x≤3,
由題意可預測該果品在9、10、11月份內價格下跌.
點評:本題考查函數模型的確定,考查函數解析式,考查利用數學知識解決實際問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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②f(x)=px2+qx+1;
③f(x)=x(x-q)2+p.(以上三式中p、q均為常數,且q>1)
(I)為準確研究其價格走勢,應選哪種價格模擬函數,為什么?
(Ⅱ)若f(0)=4,f(2)=6,求出所選函數f(x)的解析式(注:函數定義域是[0,5].其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,…,以此類推);
(Ⅲ)為保證養殖戶的經濟效益,當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷,請你預測該海鮮將在哪幾個月份內價格下跌.

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